Question

甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為．且他們是否破譯出密碼互不影響．若三人中只有甲破譯出密碼的概率為．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）設甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望EX．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記甲、乙、丙三人各自破譯密碼的事件為A₁，A₂，A₃，且，A₁，A₂，A₃相互獨立，，甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率．
（Ⅱ）由三人中只有甲破譯出密碼的概率為．知，由此能求出p=．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，p（X=0）=．p（X=1）=．p（X=2）=．p（X=3）=．由此能求出X的分布列和期望．
解答：解：記甲、乙、丙三人各自破譯密碼的事件為A₁，A₂，A₃，且，A₁，A₂，A₃相互獨立，
則，
（Ⅰ）甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率
=1-（1-）（1-）=．
（Ⅱ）∵三人中只有甲破譯出密碼的概率為．
∴，
解得p=．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，
p（X=0）=（1-）（1-）（1-=．
p（X=1）=+=．
p（X=2）=+=．
p（X=3）=．
∴X的分布列是

X	0	1	2	3
P

EX==．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解（1）題時要注意對立事件的運用，解（2）題時要注意方程思想的運用，解（3）題時要認真審題，避免漏解．