Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到點F的距離等于點P到直線l的距離，動直線PO與直線l交于動點N，過N且平行于x軸的直線與動直線PF交于動點Q．
（Ⅰ）求證：動點P、Q在同一條曲線C上運動；
（Ⅱ）曲線C在點P處的切線與直線l交于點R，M為線段PQ的中點．
（1）求證：直線RM∥x軸；
（2）若直線RM平分∠PRF，求直線PQ的方程．

Answer 1

（I）點P在曲線C：y²=4x上
令P(

y 21

4

，y1)，OP：y=

4

y1

x，N(-1，-

4

y1

)
Q(

4

y12

，-

4

y1

)
NQ：y=-

4

y1

，PF：y=

4y1

y12-4

(x-1)
將直線NQ的方程代入直線PF的方程消去y₁，得y²=4x
∴點Q在曲線C上．
（II）
（1）∵y=2

x

，y′=

1

x

，kPR=

2

y1

∴PR：y-y1=

2

y1

(x-

y 21

4

)
∴R：(-1，

y1

2

-

2

y1

)，M(

y12

8

+

2

y12

，

y1

2

-

2

y1

)
顯然RM∥x軸
(2)PR與x軸交于A(-

y 21

4

，0)
若RM平分∠PRF，且RM∥x軸
∴|AR|=|RF|
即

y 21

4

-1=2，

y

21

=12
∵y1＞0∴y1=2

3

∴P（3，2

3

），又F（1，0）
∴PF：y=

3

(x-1)
即直線PQ的方程為y=

3

(x-1)