Question

已知函數(shù)f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，則f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6，由此可得f（x）的最大值f（1）的值．
（Ⅱ）當a=0時，經(jīng)檢驗滿足條件．當a≠0時，令△=0求得a=-1，a=-2，經(jīng)檢驗都滿足條件．
當f（-1）•f（1）≤0時，求出a的取值范圍．當y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有兩個零點時，
利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得實數(shù)a的取值范圍．再把以上實數(shù)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，則f（x）=2x²+4x-4=2（x²+2x）-4=2（x+1）²-6．
因為x∈[-1，1]，所以x=1時，f（x）的最大值f（1）=2．…（3分）
（Ⅱ）（1）當a=0時，f（x）=4x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]上有零點，所以a=0時，命題成立．…（4分）
（2）當a≠0時，令△=16+8a（3+a）=8（a+1）（a+2）=0，解得a=-1，a=-2．   …（5分）
①當a=-1時，f（x）=-2x²+4x-2=-2（x-1）²，f（x）的零點為 x=1，滿足條件．
②當 a=-2時，f(x)=-4x2+4x-1=-4(x-

1

2

)2，求得函數(shù)的零點 x=

1

2

，滿足條件．
所以當 a=0，-1，-2時，y=f（x）均恰有一個零點在區(qū)間[-1，1]上．…（7分）
③當f（-1）•f（1）=（a-7）（a+1）≤0，即-1≤a≤7時，
y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上必有零點．…（8分）
④若y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有兩個零點，則

a＞0 △=8(a+1)(a+2)＞0 -1＜- 1 a ＜1 f(-1)≥0 f(1)≥0

，
或

a＜0 △=8(a+1)(a+2)＞0 -1＜- 1 a ＜1 f(-1)≤0 f(1)≤0.

．…（12分）
解得a≥7或a＜-2．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在極值點，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥-1，或a≤-2}，
故答案為 {a|a≥-1，或a≤-2}．…（13分）

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的
數(shù)學思想，屬于中檔題．