已知n是大于1的自然數(shù)，求證：2n＞1＋．

答案：
解析：

　　證明：∵2n－1＝1＋2＋22＋…＋2n－1＞，

　　∴2n＞1＋．

　　思路分析：2n＞1＋等價(jià)于2n－1＞　�、�

　　根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式逆向聯(lián)想到

　　2n－1＝＝1＋2＋22＋…＋2n－1．

　　即①式也可表示為n個(gè)不同的數(shù)1，2，22，…，2n－1之積，因此自然聯(lián)想到；如果正好等于這幾個(gè)正數(shù)之積的n次算術(shù)根，則①即可由均值不等式證得．


提示：

在使用均值不等式的題目中，尤其對(duì)于n個(gè)正數(shù)的均值不等式，能夠分析或觀察到是n個(gè)正數(shù)的均不等式問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，這也需要對(duì)提供的條件代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?/P>


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|
1
2
≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N+，且Sn=
∫
n
0
f(x)dx，是否存在等差數(shù)列an和首項(xiàng)為f（1）公比大于0的等比數(shù)列bn，使數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和等于Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•張掖模擬）已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數(shù)列，且a1=1，an=bn•（
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
）（n≥2）．
（1）求bn；
（2）證明：（1+
1
a1
）（1+
2
a2
）…（1+
n
an
）＜e3（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：甘肅省張掖市2012屆高三4月高考診斷測(cè)試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝14，b1＋8，3b2，b3＋6成等差數(shù)列，且a1＝1，an＝bn·(＋＋…＋)(n≥2)．

(1)求bn；

(2)證明：(1＋)(1＋)…(1＋)＜e3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年湖北省高三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷二 題型：解答題

已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的最小值；

（2）不等式的解集為P,   若   求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，是否存在等差數(shù)列和首項(xiàng)為公比大于0的等比數(shù)列，使數(shù)列的前n項(xiàng)和等于

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年甘肅省張掖市高三4月診斷數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數(shù)列，且a1=1，an=bn•（）（n≥2）．
（1）求bn；
（2）證明：（1+）（1+）…（1+）＜e3（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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