Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且當(dāng)規(guī)定正視圖方向垂直平面ABCD時，該幾何體的側(cè)視圖的面積為．若M、N分別是線段DE、CE上的動點，則AM+MN+NB的最小值為________．

Answer 1

3
分析：由幾何體的側(cè)視圖的面積為求出幾何體的高AD，再四棱錐E-ABCD的側(cè)面AED、DEC、CEB展開鋪平，在平面內(nèi)利用余弦定理求得線段AM+MN+NB長為所求．
解答：取AB中點F，∵AE=BE=，∴EF⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，
易求EF=，
左視圖的面積S=AD•EF=AD=，
∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，
將四棱錐E-ABCD的側(cè)面AED、DEC、CEB展開鋪平如圖，
則AB²=AE²+BE²-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（-）=9，
∴AB=3，
∴AM+MN+BN的最小值為3．
故答案為：3．
點評：本題考查由三視圖還原實物圖，解題的關(guān)鍵是由三視圖還原出實物圖的幾何特征及其度量，還考查曲面距離最值問題，采用化曲面為平面的辦法．須具有空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計算能力．