Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+

b

x

+5（其中常數(shù)a，b∈R）滿足f（2）+f（-2）=26．
（Ⅰ）若f（-1）=-2000，求f（1）；
（Ⅱ）若函數(shù)φ（x）=xf（x）+2^x+2^-x（x∈（0，1））的值域?yàn)椋?，

15

2

），求b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下
①證明f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
②給出一個(gè)增函數(shù)g（x）使得當(dāng)x∈N⁺時(shí)，g（x）∈N⁺，且

2

5

=r^g（1）+r^g（2）+r^g（3）+…+r^g（n）+…成立．
（已知等式

1

1-q

=1+q+q²+…+q^n-1+…對(duì)任意實(shí)數(shù)q∈（-1，1）恒成立）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件建立方程求出a的值，根據(jù)f（-1）=-2000，即可求f（1）；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合值域關(guān)系即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）構(gòu)造g（x）=x，令r=

2

7

即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+

b

x

+5，得f（2）+f（-2）=8a+10，
因?yàn)閒（2）+f（-2）=26，所以8a+10=26，即a=2．
所以f（1）+f（-1）=a+b+5+a-b+5=2a+10=14，
又f（-1）=-2000，故f（1）=2014；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2，所以φ（x）=xf（x）+2^x+2^-x
=2x³+5x+b+2^x+2^-x，
令h（x）=2^x+2^-x，設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，
則h（x₁）-h（x₂）=2x1+2-x1-2x2-2-x2
=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

2x1+x2

，
因?yàn)?≤x₁＜x₂≤1，所以2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，
所以h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
所以h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
又因?yàn)楹瘮?shù)y=2x³與函數(shù)y=5x+b在（0，1）上均為增函數(shù)，
所以φ（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
所以φ（x）在（0，1）上的值域?yàn)?span id="ez0yd0z" class="MathJye">(b+2，b+

19

2

)，
又因?yàn)棣眨▁）在（0，1）上的值域?yàn)?span id="tec0css" class="MathJye">(0，

15

2

)，
所以

b+2=0 b+ 19 2 = 15 2

，
解得b=-2，
所以b的值是-2；
（Ⅲ）①由（Ⅰ）、（Ⅱ）得a=2，b=-2，
所以f(x)=2x2-

2

x

+5．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0恒成立，
所以f（x）在（-∞，0）上沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，由于函數(shù)y=2x²+5與函數(shù)y=-

2

x

均在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f(x)=2x2-

2

x

+5在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又f（1）=5＞0，f(

1

4

)=

1

8

-3＜0，
即f(1)•f(

1

4

)＜0，
所以f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)；
②令g（x）=x，則
函數(shù)g（x）=x是增函數(shù)，當(dāng)x∈N⁺時(shí)，g（x）∈N⁺，
此時(shí)

2

5

+1=1+r¹+r²+r³+…+rⁿ+…
=

1

1-r

，解得r=

2

7

，
故當(dāng)給出的增函數(shù)為g（x）=x，r=

2

7

時(shí)滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．