Question

已知f（x）是R上的單調函數，?x₁，x₂∈R，?x∈R，總有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）若f（x）=1，且?_n∈N⁺，有a_n=，b_n=f（）+1，記S_n=，T_n=，
，比較S_n與T_n的大小并給出證明；
（Ⅲ）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞對?n≥2都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），故f（x）=-f（0）；令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），故f（1）=-f（0）．所以f（x）=f（1），f（x）是R上的單調函數，由此能求出x的值．
（Ⅱ）由f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），知f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，所以f（n）=2n-1.，．由此能比較S_n與T_n的大小并給出證明．
（Ⅲ）令F（n）=a_n+1+a_n+1+…+a_2n，則F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=＞0．當n≥2時，故，由此能x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），
∴f（x）=-f（0），①
令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），
∴f（1）=-f（0），②
由①、②知，f（x）=f（1），又f（x）是R上的單調函數，
∴x=1． …（4分）
（Ⅱ）∵f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），
∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，
即數列{f（n）}是以2為公差1為首項的等差數列，
∴f（n）=2n-1．
∴，．
S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=
=
=．
∴，
T_n=
=
=
=
=．
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n+C_n¹•3¹+C_n²•3²+…+C_nⁿ•3ⁿ＞3n+1＞2n+1，
∴．…（10分）
（Ⅲ）令F（n）=a_n+1+a_n+1+…+a_2n，
則F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1==＞0，
∴當n≥2時，．…（12分）
對?n≥2都成立，
∴-2）+1]，
∴，
∴，即，
∴．…（15分）
點評：本題首先考查數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．