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【題目】已知橢圓的長軸與短軸比值是2，橢圓C過點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點作圓x2+y2=1的切線交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數，并求S△AOB的最大值

【答案】（1）（2），m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；S△AOB的最大值為1

【解析】

(1) 由已知可知,及橢圓C過點,代入橢圓方程即可求得,進而得出結果.

(2) 由題設知切線的斜率存在,設切線的方程為，與橢圓方程聯立求得弦長,由于與圓相切,可得=1,化簡可得,利用基本不等式化簡即可求得結果.

解：（1）∵橢圓的長軸與短軸比值是2，

∴，設橢圓C的方程為：，

∵橢圓C過點，

∴，∴，

∴橢圓C的標準方程為.

（2）由題意知,.

由題設知切線的斜率存在，設切線的方程為，

由，得，

設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），

則，

又∵與圓相切，

∴=1，，

∴=

=

=，

∴,

∴（當且僅當時取等號）

∴當時，S△AOB的最大值為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在菱形中，，為線段的中點（如圖1）．將沿折起到的位置，使得平面平面，為線段的中點（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）當四棱錐的體積為時，求的值．

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【題目】國家規(guī)定每年的月日以后的天為當年的暑假.某鋼琴培訓機構對位鋼琴老師暑假一天的授課量進行了統(tǒng)計，如下表所示：

授課量（單位：小時）

頻數

培訓機構專業(yè)人員統(tǒng)計近年該校每年暑假天的課時量情況如下表：

課時量（單位：天）

頻數

（同組數據以這組數據的中間值作代表）

（1）估計位鋼琴老師一日的授課量的平均數；

（2）若以（1）中確定的平均數作為上述一天的授課量.已知當地授課價為元/小時，每天的各類生活成本為元/天；若不授課，不計成本，請依據往年的統(tǒng)計數據，估計一位鋼琴老師天暑假授課利潤不少于萬元的概率.

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【題目】某市教育局為了監(jiān)控某校高一年級的素質教育過程，從該校高一年級16個班隨機抽取了16個樣本成績，制表如下：

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

測評成績

95

96

96

90

95

98

98

97

抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16

測評成績

97

95

96

98

99

96

99

96

令為抽取的第個學生的素質教育測評成績，，經計算得，，.以下計算精確到0.01.

（1）設為抽取的16個樣本的成績，用頻率估計概率，求的分布列、數學期望和標準方差；

（2）在抽取的樣本成績中，如果出現了在之外的成績，就認為本學期的素質教育過程可能出現了異常情況，需對本學期的素質教學過程進行反思，同時對下學期的素質教育過程提出指導性的建議.從該校抽樣的結果來看，是否需對本學期的素質教學過程進行反思，同時對下學期的素質教育過程提出指導性的建議？

（3）列出不小于的所有樣本成績，設列出的這些成績的中位數為，每次從列出的這些成績中隨機抽取1個成績，有放回地連續(xù)抽取3次，求恰好有2次抽得的成績?yōu)?/span>的概率.

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【題目】已知圓： 經過橢圓： 的左右焦點，且與橢圓在第一象限的交點為，且三點共線，直線交橢圓于， 兩點，且（）.

（1）求橢圓的方程；

（2）當三角形的面積取得最大值時，求直線的方程.

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【題目】如圖所示，在三棱柱中，為棱的中點．

（1）求證：平面．

（2）若平面，，，求二面角的余弦值．

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【題目】如圖所示，已知四邊形是菱形，平面平面，，.

（1）求證：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

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【題目】設函數.

(1)若，求的單調區(qū)間；

(2)若當時恒成立，求的取值范圍．

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【題目】已知動點到兩點，的距離之和為4，點在軸上的射影是C，.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點的直線交點的軌跡于點，交點的軌跡于點，求的最大值.

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