Question

已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）已知f（x）在區(qū)間（a，a+1）上為增函數(shù)，即f′（x）≥0在區(qū)間（a，a+1）上恒成立，然后結(jié)合解分式不等式求a的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-8lnx
∴f′（x）=2x-

8

x

．
∴f'（1）=-6．
又∵f（1）=1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=-6（x-1）．
即y=-6x+7．
（2）由（1）得f′（x）=2x-

8

x

．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上為增函數(shù)，
∴2x-

8

x

≥0區(qū)間（a，a+1）上恒成立，
而不等式2x-

8

x

≥0即

(x-2)(x+2)

x

≥0，
解得，-2≤x≤0或x≥2，
∴a的取值范圍-2≤a≤-1或a≥2．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導(dǎo)數(shù)解決，綜合性較強(qiáng)．