Question

如圖所示，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD=

2

．AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B-AF-D的大�。�
（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積．

Answer 1

（1）連接AC、BD交于菱形的中心O，過(guò)O作OG⊥AF，G為垂足，連接BG、DG．
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．
于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD為二面角B-AF-D的平面角．
由FC⊥AC，F(xiàn)C=AC=2，得∠FAC=

π

4

，OG=

2

2

．
由OB⊥OG，OB=OD=

2

2

，得∠BGD=2∠BGO=

π

2

．
（2）連接EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，
則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD．
過(guò)H作HP⊥平面ABCD，P為垂足．
因?yàn)镋A⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，
所以平面ACEF⊥平面ABCD，從而P∈AC，HP⊥AC．
由

HP

CF

+

HP

AE

=

AP

AC

+

PC

AC

=1，得HP=

2

3

．
又因?yàn)镾_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=

2

，
故四棱錐H-ABCD的體積V=

1

3

S_菱形ABCD•HP=

2 2

9

．