Question

已知O是△ABC的外心，且

OA

+

OB

=

OC

，|

AB

|=2

3

，P是線段AB上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），實(shí)數(shù)λ，μ滿足

CP

=λ

CA

| CA |

+μ

CB

| CB |

，則

1

λ

+

1

μ

的最小值是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法法則和三角形外心的性質(zhì)，證出四邊形OACB是由兩個(gè)正三角形拼成的菱形，由|

AB

|=2

3

算出|

OC

|=2且菱形的各邊長(zhǎng)都等于2．以O(shè)為原點(diǎn)，CO所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，可得A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（-1，y）可得

CP

=（1，y），結(jié)合題中向量等式證出正數(shù)λ，μ滿足

1

2

(λ+μ)=1，由此結(jié)合基本不等式求最值，即可算出

1

λ

+

1

μ

的最小值．

解答：解：∵O是△ABC的外心，且

OA

+

OB

=

OC

，
∴以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，且對(duì)角線OC等于邊長(zhǎng)
因此，在菱形OACB中，△ACO與△BCO都是等邊三角形
∵|

AB

|=2

3

，∴|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=|

CA

|=|

CB

|=2
以O(shè)為原點(diǎn)，CO所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示
可得A（-1，

3

），B（-1，-

3

），C（-2，0）
∴

CA

=（1，

3

），可得λ

CA

| CA |

=

λ

2

（1，

3

）=（

λ

2

，

3 λ

2

），
同理得μ

CB

| CB |

=

μ

2

（1，-

3

）=（

μ

2

，-

3 μ

2

）
因點(diǎn)P在直線AB：x=-1上，設(shè)P（-1，y），（-

3

＜y＜

3

），可得

CP

=（1，y）
∵

CP

=λ

CA

| CA |

+μ

CB

| CB |

=（

λ

2

，

3 λ

2

）+（

μ

2

，-

3 μ

2

）=（

1

2

(λ+μ)，

3

2

（λ-μ））
∴

1

2

(λ+μ)=1，可得λ+μ=2（λ＞0且μ＞0）
因此

1

λ

+

1

μ

=

1

2

(λ+μ)（

1

λ

+

1

μ

）=1+

1

2

（

μ

λ

+

λ

μ

）≥1+

1

2

×2

μ λ • λ μ

=2
當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=1時(shí)，

1

λ

+

1

μ

的最小值是2
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的三角形，在滿足向量等式

CP

=λ

CA

| CA |

+μ

CB

| CB |

的情況下求

1

λ

+

1

μ

的最小值．著重考查了向量的加法法則、三角形的外心、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．