Question

下列函數(shù)中，在（0，）上有零點(diǎn)的函數(shù)是

1. A.
   f（x）=sinx-x
2. B.
   f（x）=sinx-x
3. C.
   f（x）=sin²x-x
4. D.
   f（x）=sin²x-x

Answer 1

D
分析：對選項中的函數(shù)分別進(jìn)行求導(dǎo)，研究它們的極值和單調(diào)性進(jìn)行分析，對于A：求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的符號知f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，故錯；對于B：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求出該函數(shù)的極值點(diǎn)x₁，分析函數(shù)的單調(diào)性f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，對于C：求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的符號知f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，故錯；對于D：求導(dǎo)，求得函數(shù)的極值點(diǎn)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可知該選項正確．
解答：對于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，）
∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，故錯；
對于B：令f′（x）=cosx-=0，得x₁=arccos，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＞0，當(dāng)時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，
而f（0）=0，f（）=0，故該函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，故錯；
對于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，）
∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，且f（0）=0，故該函數(shù)在（0，）上無零點(diǎn)，故錯；
對于D：令f′（x）=2sinxcosx-=sin2x-=0，得x₁=arcsin，或x₂=π-arcsin，
當(dāng)0＜x＜x₁時，f′（x）＜0，當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，當(dāng)時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，
而f（0）=0，f（）=0，故該函數(shù)在（0，）上有零點(diǎn)，故正確；
故選D．
點(diǎn)評：此題是個中檔題．考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．