已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a≠c且f（1）=0，證明：方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根；
（2）證明：若x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），則方程必有一實根在區(qū)間 （x1，x2）內(nèi)．
【答案】分析：（1）要證明方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根，只要△=b2-4ac=（a+c）2-4ac＞0即可；
（2）令g（x）=f（x）-，則由g（x1）=f（x1）-=，g（x2）=f（x2）-=-及g（x）的圖象是連續(xù)可證．
解答：解：（1）∵f（1）=0
∴a+b+c=0，即b=-a-c； （2分）
又對f（x）=0有△=b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2
∵a≠c，∴△=（a-c）2＞0．故方程f（x）=0有兩個不同實數(shù)根；（6分）
（2）設(shè)（8分）
考慮：

∴對二次函數(shù)y=g（x）的圖象在（x1，x2）內(nèi)必至少穿過橫軸一次，
∴方程必有一實根在區(qū)間 （x1，x2）內(nèi)．（12分）
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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