Question

如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱AD＝DC＝3，DD1＝4，過點D作D1C的垂線交CC1于點E，交D1C于點F． (1) 求證： (2) 求二面角E—BD—C的大��； (3) 求BE到平面A1D1C所成角的正弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一： 證明：連結(jié)AC交BD于點O，由已知ABCD是正方形，則AC⊥BD． 由三垂直線定理有 ∴A1C∥平面BED． ………………………………4分 解法二： 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A1(0，0，4)，C(3，3，0)，B(3，0，0) E(3，3，)．…………2分 ……………5分
(2)	解法一：連接EO．由EC⊥平面BCD，且AC⊥BD，知EO⊥BD． 是二面角E—BD—C的平面角． 已知 可求得 則…………………………7分 在 ∴二面角E—BD—C的大小是…………………………………9分 解法二：D(0，3，0)，， ……6分 設(shè)平面BED的法向量為 由 令 ………………………………………………8分 ……………………8分 ∴二面角E—BD—C的大小為arccos………………………………9分
(3)	解法一：連接A1B，由 由(Ⅰ)知 且 連接BF． ………………………………13分 在 ……………………14分 解法二：D1(0，3，4)，則，設(shè)平面A1D1C的法向量為 ．…………………………12分 …………………14分