Question

設兩種濃度分別為

a1

b1

、

a2

b2

(

a1

b1

＜

a2

b2

，a1、a2、b1、b2＞0)的溶液各m、n（m＞0，n＞0）克，把它們混合后，所得到的溶液的濃度介于混合前兩溶液濃度之間．請從這個事實提煉出一個不等式為

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

．

Answer 1

分析：結(jié)論為：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，首先證明

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，再利用不等式的性質(zhì)可得此不等式正確，然后同理可得：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

正確，進而得到答案．

解答：證明：結(jié)論為：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，
首先證明

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，
因為a₁、a₂、b₁、b₂＞0，
所以不等式分子與分母交叉相乘可得：a₁b₂+a₂b₂＜a₂b₁+a₂b₂，
所以整理可得

a1

b1

＜

a2

b2

，即原不等式正確．
同理可得：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

正確．
故答案為：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握不等式的有關性質(zhì)，以及不等關系的證明方法，此題屬于基礎題．