Question

4．設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（2-x）時，當(dāng)x∈[-2，0]時，$f（x）={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}-1$，若（-2，6）在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程xf（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4個不同的根，則實數(shù)a的范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{4}，1）$
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由已知中可以得到函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且周期為4，將方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有4個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=-log_a（x+2）的圖象恰有4個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），
∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4．
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時，$f（x）={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}-1$，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有4個不同的實數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）（a＞1）在區(qū)間（-2，6）上有四個不同的交點，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=f（6）=1，
則對于函數(shù)y=log_a（x+2），
由題意可得，當(dāng)x=6時的函數(shù)值小于1，
即log_a8＜1，
由此解得：a＞8，
∴a的范圍是（8，+∞）
故選D．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．