Question

已知函數f（x）=2sinxcosx-1（x∈R），給出下列四個命題：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；       ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數；   ④f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱，
其中正確的命題是

③④

．

Answer 1

分析：根據題意把函數化簡為f（x）=sin2x-1，①可以舉例判斷其實錯誤的．②根據周期公式可得函數周期為π．③求出函數的所以單調增區(qū)間即可得到③正確．④求出函數的所有對稱軸可驗證得④正確

解答：解：函數f（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1
①f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不滿足x₁=-x₂，所以①錯誤．
②根據周期公式可得：f（x）=sin2x-1的最小正周期為π．所以②錯誤．
③f（x）=sin2x-1的單調增區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，（k∈Z），當k=0時顯然③正確．
④f（x）=sin2x-1的所有對稱軸為x=

kπ

2

+

π

4

，當k=1時顯然④正確．
故答案為：③④

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二倍角公式，以及三角函數的有關性質（單調性，周期性，奇偶性，對稱性等）．