Question

若數(shù)列都成立，則我們把數(shù)列稱為“L型數(shù)列”．

　　(1)試問(wèn)等差是否為L(zhǎng)型數(shù)列？若是，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)p、q的值；若不是，說(shuō)明理由．

　　(2)已知L型數(shù)列滿足

　　　，

的兩根，若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列(只選其中之一加以證明即可)．

(3)請(qǐng)你提出一個(gè)關(guān)于L型數(shù)列的問(wèn)題，并加以解決．(本小題將根據(jù)所提問(wèn)題的普適性給予不同的分值，最高10分)

Answer 1

解析： (1) 等差數(shù)列都是L型數(shù)列．

　　理由　當(dāng)數(shù)列，　　　

即，且相應(yīng)的．                   　　   2分

　　所以等差數(shù)列是L型數(shù)列．　　　　　　　　　　　　　　

同樣，當(dāng)數(shù)列，　　 

即，且相應(yīng)的．     　               4分

　　所以等比數(shù)列是L型數(shù)列．　　　　　　　　　　　　　  

證(2)∵，，

       ，

∴．  6分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　

    ∴數(shù)列．　　10分

(同理可證，數(shù)列)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

  (3)下面僅提供本小題提問(wèn)涉及的可能情況和評(píng)分指導(dǎo)意見(jiàn)，若考生提出的問(wèn)題與下列情況不同，則可根據(jù)問(wèn)題的普適性分別歸在下面某個(gè)層面加以評(píng)分．

第一層面的問(wèn)題　(給予0分)

(1)  提出等差數(shù)列、等比數(shù)列是L型數(shù)列的問(wèn)題．(本大題的第一問(wèn)已經(jīng)解決)

(2)  判斷一個(gè)數(shù)列不是L型數(shù)列的問(wèn)題．(不符合題意要求)

 

第二層面的問(wèn)題　(給予4分，可得提出問(wèn)題2分，解答問(wèn)題2分)

(1)  提出并解決：已知數(shù)列是等差數(shù)列，則是L型數(shù)列．

(2)  提出并解決：

已知數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是L型數(shù)列．

第三層面的問(wèn)題　(給予6分，可得提出問(wèn)題3分，解答問(wèn)題3分)

(1)提出并解決：求本大題第二問(wèn)中數(shù)列的通項(xiàng)公式(或前n項(xiàng)和公式)問(wèn)題.

(2) 提出并解決：

已知數(shù)列是等差數(shù)列，則是L型數(shù)列．

(3)  提出并解決：求某個(gè)特殊L型數(shù)列的通項(xiàng)公式(或前n項(xiàng)和公式)問(wèn)題.

(4)  提出并解決：已知數(shù)列是L型數(shù)列，則是L型數(shù)列．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

第四層面的問(wèn)題　(給予8分，可得提出問(wèn)題4分，解答問(wèn)題4分)

(1) 提出并解決：求某類(lèi)L型數(shù)列的通項(xiàng)公式(或前n項(xiàng)和公式)問(wèn)題(這里主要指按).

(2) 提出并解決：求Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題(把該問(wèn)題列入這一層面，主要是鼓勵(lì)學(xué)生利用及時(shí)學(xué)習(xí)的新知識(shí)解決熟悉的著名數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題)．

第五層面的問(wèn)題　(給予10分，可得提出問(wèn)題2分，解答問(wèn)題8分)

(1)提出并解決：求一般L型數(shù)列的通項(xiàng)公式的問(wèn)題.

(2)提出并解決：求一般L型數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的問(wèn)題．

【第五層面問(wèn)題中的(1)的樣例】

問(wèn)題  已知L型數(shù)列

，求通項(xiàng)公式.

解  設(shè)的兩根. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    ①若

，于是，().

②若

 　  ，又，

所以的等差數(shù)列．

因此，．

綜上所述，若的兩個(gè)不等根時(shí)，L型數(shù)列的通項(xiàng)公式為()；若的兩個(gè)等根時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．