Question

6．為了政府對(duì)過熱的房地產(chǎn)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)控決策，統(tǒng)計(jì)部門對(duì)城市人和農(nóng)村人進(jìn)行了買房心理預(yù)測(cè)調(diào)研，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了110人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：

	買房	不買房	糾結(jié)
城市人	5		15
農(nóng)村人	20	10

已知樣本中城市人數(shù)與農(nóng)村人數(shù)之比是3：8．
（Ⅰ）分別求樣本中城市人中的不買房人數(shù)和農(nóng)村人中的糾結(jié)人數(shù)；
（Ⅱ）從參與調(diào)研的城市人中用分層抽樣方法抽取6人，進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)城市人的某項(xiàng)收入指標(biāo)，假設(shè)一個(gè)買房人的指標(biāo)算作3，一個(gè)糾結(jié)人的指標(biāo)算作2，一個(gè)不買房人的指標(biāo)算作1，現(xiàn)在從這6人中再隨機(jī)選取3人，令X=再抽取3人指標(biāo)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)城市人中的不買房人數(shù)和農(nóng)村人中的糾結(jié)人數(shù)分別是x、y人，根據(jù)比例關(guān)系列出方程組求出x、y的值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）填寫列聯(lián)表，根據(jù)題意得出X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)城市人中的不買房人數(shù)和農(nóng)村人中的糾結(jié)人數(shù)分別是x、y人，
則$\frac{20+x}{30+y}$=$\frac{3}{8}$①，
（20+x）+（30+y）=110②；
由①②組成方程組，解得x=10，y=50；
∴城市人中的不買房人數(shù)和農(nóng)村人中的糾結(jié)人數(shù)分別是10和50人；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到如下列聯(lián)表：

	買房	不買房	糾結(jié)	總計(jì)
城市人	5	10	15	30
農(nóng)村人	20	10	50	80
總計(jì)	25	20	65	110

從參與調(diào)研的城市人中用分層抽樣方法抽取的6人中，不買房和糾結(jié)的人數(shù)分別是1，2和3，
所以X=7，6，5，4；
所以P（X=7）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}{+C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{7}{20}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{2}^{0}{•C}_{3}^{3}{+C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{7}{20}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{20}$；
所以X的分布列為

X	7	6	5	4
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{3}{20}$

數(shù)學(xué)期望是7×$\frac{3}{20}$+6×$\frac{7}{20}$+5×$\frac{7}{20}$+4×$\frac{3}{20}$=$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了分層抽樣以及列聯(lián)表的應(yīng)用問題，是綜合題．