已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.
(Ⅰ)(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值;
當(dāng),在處取得極小值,無極大值(Ⅲ)的最大值為
【解析】(Ⅰ)由,得.
又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,
得,即,解得.
(Ⅱ),
①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.
②當(dāng)時(shí),令,得,.
,;,.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值;
當(dāng),在處取得極小值,無極大值.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),
令,
則直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.
假設(shè),此時(shí),,
又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故.
又時(shí),,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解.
所以的最大值為.
解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),.
直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程:
(*)
在上沒有實(shí)數(shù)解.
①當(dāng)時(shí),方程(*)可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解.
②當(dāng)時(shí),方程(*)化為.
令,則有.
令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
當(dāng)時(shí),,同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于,
從而的取值范圍為.
所以當(dāng)時(shí),方程(*)無實(shí)數(shù)解,
解得的取值范圍是.
綜上,得的最大值為.
此題的一二問考查的是最基本的函數(shù)切線問題及對(duì)極值含參情況的討論,所以導(dǎo)數(shù)公式必需牢記,對(duì)于參數(shù)的討論找到一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)做到不重不漏即可,可這往往又是學(xué)生最容易出現(xiàn)問題的地方.而第三問對(duì)于曲線是否無交點(diǎn)要懂得轉(zhuǎn)化成函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)問題處理,這也是常規(guī)處理含參就比較麻煩,平時(shí)要多加練習(xí).
【考點(diǎn)定位】 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù),兩數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解 能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬綜合要求比較高的難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題共12分)已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),(為常數(shù)),是實(shí)數(shù)集 上的奇函數(shù).(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)討論關(guān)于的方程:的根的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)設(shè),證明:(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年吉林通化第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .
(1)設(shè),求函數(shù)的最值;
(2)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省溫州市高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).(為自然對(duì)數(shù)的底)
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)是否存在常數(shù)使得對(duì)于任意的正數(shù)恒成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆河北省高三第一學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知.函數(shù).e為自然對(duì)數(shù)的底
(1)當(dāng)時(shí)取得最小值,求的值;
(2)令,求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年天津市高三第二次月考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)若函數(shù)為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若時(shí),求函數(shù)的極小值。
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