Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，求出自變量的取值范圍，針對于a的值小于進行討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）這是一個恒成立問題，根據(jù)上一問做出的結(jié)果，知道當a≤0時，f（x）≤0不恒成立，又當a＞0時，f（x）在點x=1-lna處取最大值，求出a的范圍．
解答：解：（I）f^′（x）=1-ae^x-1
當a≤0時，f^′（x）＞0，f（x）在R上是增函數(shù)；
當a＞0時，令f^′（x）=0得x=1-lna
若x＜1-lna，則f^′（x）＞0，從而f（x）在區(qū)間（-∞，1-lna）上是增函數(shù)；
若x＞1-lna，，則f^′（x）＜0，從而f（x）在區(qū)間（1-lna，+∞上是減函數(shù)．
（II）由（I）可知：當a≤0時，f（x）≤0不恒成立
又當a＞0時，f（x）在點x=1-lna處取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae^-lna=-lna
令-lna＜0得a≥1
故若f（x）≤0對x∈R恒成立，則a的取值范圍是[1，+∞）
點評：本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和解決函數(shù)恒成立的問題，解題時注意函數(shù)的單調(diào)性是解決最值的必經(jīng)途徑，注意數(shù)字的運算．