Question

2．已知正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為$\sqrt{2}$的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用正三棱錐的特點(diǎn)，將球的內(nèi)接三棱錐問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問(wèn)題，從而將所求距離轉(zhuǎn)化為正方體中，中心到截面的距離問(wèn)題，利用等體積法可實(shí)現(xiàn)此計(jì)算．

解答 解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，
∵球O的半徑為$\sqrt{2}$，
∴正方體的邊長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，即PA=PB=PC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，
設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC×h=$\frac{8\sqrt{6}}{27}$，
△ABC為邊長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的正三角形，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點(diǎn)到面的距離問(wèn)題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題．