Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²+ax-2-lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，且對(duì)于區(qū)間[

1

3

，1]上任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
（參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.0986）

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)：f′（x）=2x+a-

1

x

，由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）把a(bǔ)=1代入，結(jié)合（1）可判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

3

，1]上的值域，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+a-

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

1

x

-2x，則函數(shù)g（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取最大值-1
∴a≥-1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，+∞）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+x-2-lnx．f′（x）=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

當(dāng)x∈[

1

3

，

1

2

]時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）取最小值ln2-

5

4

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值0
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

5

4

-ln2
∴c≥

5

4

-ln2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．