解:(Ⅰ)因?yàn)?S
n=n(3a
1+a
n),所以2S
1=3a
1+a
1,因?yàn)镾
1=a
1=a,所以a=0.…..(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
,所以
.
所以
.
所以(n-1)a
n+1=na
n.
所以當(dāng)n≥2時(shí),
.
所以
,
,…,
,
所以
.
所以a
n=2(n-1),n≥2.
因?yàn)閍
1=a=0滿(mǎn)足上式,所以a
n=2(n-1),n∈N
*.…..(8分)
(Ⅲ)當(dāng)n≥2時(shí),
.…..(10分)
又b
1=2,所以T
n=b
1+b
2+…+b
n=
=
=
所以
.…..(14分)
分析:(Ⅰ)根據(jù)遞推式,令n=1,結(jié)合S
1=a
1=a,可求a的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
,再寫(xiě)一式,兩式相減,可得(n-1)a
n+1=na
n,再利用疊乘法,即可求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)利用裂項(xiàng)法,即可求數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,正確運(yùn)用疊乘法、裂項(xiàng)法是解題的關(guān)鍵.