已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(
π
3
+x)-
3
sin2x+
1
2
sin2x
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）向右平移m個單位（m＞0）使得圖象關(guān)于y軸對稱，求m的最小值；
（3）若f(x0)=
6
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+
π
3
)，由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤
3π
2
+2kπ求出x的范圍，即得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換求出g（x）的解析式為2sin(2x+
π
3
-2m)，令
π
3
-2m=kπ+
π
2
，k∈Z，
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 f(x0)=
6
5
=2sin(2x0+
π
3
)，解出2sin(2x0+
π
3
)的值，并根據(jù)2x0+
π
3
∈[
5π
6
，
4π
3
]，求出cos（2x0+
π
3
） 的值，由cos2x0=cos[（2x0+
π
3
 ）-
π
3
]利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果．
解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(
π
3
+x)-
3
sin2x+
1
2
sin2x=2cosx（
3
2
cosx+
1
2
sinx）-
3
sin2x+
1
2
sin2x
=
3
cos2x+sin2x=2sin(2x+
π
3
)．
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z，解得 kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈Z．
（2）f（x）右移m個單位后，得到函數(shù)為g(x)=2sin[2(x-m)+
π
3
]=2sin(2x+
π
3
-2m)，由于圖象關(guān)于y軸對稱，
∴
π
3
-2m=kπ+
π
2
，k∈Z．∴m=-
kπ
2
-
π
12
．
∵m＞0，∴k=-1時，mmin=
5π
12
．
（3）∵f(x0)=
6
5
=2sin(2x0+
π
3
)，∴sin(2x0+
π
3
)=
3
5
，又x0∈[
π
4
，
π
2
]，
故2x0+
π
3
∈[
5π
6
，
4π
3
]，故cos（2x0+
π
3
）=-
4
5
．
cos2x0=cos[（2x0+
π
3
 ）-
π
3
]=cos（2x0+
π
3
）cos
π
3
+sin（2x0+
π
3
）sin
π
3
=
3
3
-4
10
．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案