Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線l₀與x=1處的切線l₁相互平行，求實(shí)數(shù)a的值及此時函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0＜a＜4，求證：exf（x）＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．

Answer 1

解：（I）由函數(shù)f（x）在x=0處的切線l₀與x=1處的切線l₁相互平行，
知：f′（0）=f′（1），
而f′（x）=，∴，解得a=1，
此時f′（x）=，令f′（x）≥0，得0≤x≤1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；
（II）證明：原不等式等價于ex＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．
∵0＜a＜4，∴x²+ax+a＞0，原不等式等價于ex＜a+1+aexlnx，
即，
設(shè)g（x）=，h（x）=，
對于g（x），列表如下：

可知，g（x）≥g（）=；
對于h（x），列表如下：

可知，h（x）≤h（1）=；
綜上所述，g（x）≥h（x）恒成立，又因?yàn)檫@兩個函數(shù)不在同一點(diǎn)取最值，
于是g（x）＞h（x）恒成立，
從而 原不等式成立．
分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后函數(shù)f（x）在x=0處的切線l₀與x=1處的切線l₁相互平行，則f′（0）=f′（1），求出a的值，最后利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）原不等式等價于ex＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a），也等價于即，
設(shè)g（x）=，h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)工具研究這兩個函數(shù)的單調(diào)性的最值，可知g（x）≥h（x）恒成立，又因?yàn)檫@兩個函數(shù)不在同一點(diǎn)取最值，從而得出原不等式成立．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．