Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（1）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函數(shù)的最小值大于2（a-1），從而求得a的取值范圍．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點(diǎn)，得到

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，解出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f′（x）＞0解得x＞

2

a

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

2

a

∴f（x）在區(qū)間(

2

a

，+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0，

2

a

)上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=

2

a

時，函數(shù)f（x）取得最小值ymin=a+aln

2

a

-2
由于對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln

2

a

-2＞2(a-1)
解得0＜a＜

2

e

，故a的取值范圍是(0，

2

e

)
（2）依題意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則g′(x)=

x2+x-2

x2

由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點(diǎn)，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范圍是(1，

2

e

+e-1]．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線上某點(diǎn)的切線斜率的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的最值．屬于中檔題．