Question

11．解關(guān)于x的不等式（m+1）x²-4x+1≤0（m∈R）

Answer 1

分析 由m=-1，m＜-1，-1＜m＜3，m=3，m＞3，進(jìn)行分類討論，由此能求出關(guān)于x的不等式（m+1）x²-4x+1≤0（m∈R）的解集．

解答 解：∵（m+1）x²-4x+1≤0（m∈R），
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，原不等式為-4x+1≤0，解集為{x|x$≥\frac{1}{4}$}，…（2分）
（2）當(dāng)m＜-1時(shí)，
解方程（m+1）x²-4x+1=0，得x=$\frac{4±\sqrt{16-4（m+1）}}{2（m+1）}$=$\frac{2±\sqrt{3-m}}{m+1}$，
原不等式的解集為{x|x≥$\frac{2-\sqrt{3-m}}{m+1}$或$x≤\frac{2+\sqrt{3-m}}{m+1}$}．…（5分）
（3）當(dāng)-1＜m＜3時(shí)，
解方程（m+1）x²-4x+1=0，
得x=$\frac{4±\sqrt{16-4（m+1）}}{2（m+1）}$=$\frac{2±\sqrt{3-m}}{m+1}$，
原不等式的解集為{x|$\frac{2-\sqrt{3-m}}{m+1}$≤x≤$\frac{2+\sqrt{3-m}}{m+1}$}，…（8分）
（4）當(dāng)m=3時(shí)，原不等式為4x²-4x+1≤0，解集為{x|x=$\frac{1}{2}$}，…（10分）
（5）當(dāng)m＞3時(shí)，方程（m+1）x²-4x+1=0無解，
原不等式的解集∅．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查關(guān)于x的一元二次不等式的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．