Question

用反證法證明：鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長(zhǎng)的一半．

Answer 1

分析：①若AD=

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BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長(zhǎng)的一半，那么，這條邊所對(duì)的角為直角”知∠BAC=90°，與題設(shè)矛盾．②若AD＞

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BC，由BD=DC=

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BC，
三角形由大邊對(duì)大角可得∠B＞∠DAB．同理∠C＞∠CAD，由此推出∠B+∠C＞∠BAC，進(jìn)一步推出∠BAC＜90°，與已知矛盾．從而得到假設(shè)AD≥

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BC不正確，命題得證．

解答：如圖：已知在△ABC中，∠A＞90°，D是BC中點(diǎn)．求證：AD＜

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BC．
證明：假設(shè)AD≥

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BC．
①若AD=

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BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長(zhǎng)的一半，那么，這條邊所對(duì)的角為直角”知∠BAC=90°，與題設(shè)矛盾．∴AD≠

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BC．
②若AD＞

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BC，∵BD=DC=

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BC，
∴在△ABD中，AD＞BD，從而∠B＞∠DAB．同理∠C＞∠CAD．
∴∠B+∠C＞∠BAD+∠CAD，即∠B+∠C＞∠BAC．
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，∴180°-∠BAC＞∠BAC，
則∠BAC＜90°，與已知矛盾．
由①②知AD＜

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BC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．