Question

某單位為解決職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A（m²）的宿舍樓．已知土地的征用費為2388元/m²，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍．經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費用都為445元/m²，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m²．試設(shè)計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最小，并求出其最小費用．（總費用為建筑費用和征地費用之和）

Answer 1

分析：如果設(shè)樓高為x層，總費用為y元，那么征地面積為

2.5×A

x

m²，征地費用為

2388×2.5A

x

元，樓層建筑費用為{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（x-2）]}×

A

x

；則總費用y=建筑費用+征地費用，整理化簡，可得總費用y的最小值及對應(yīng)的x值．

解答：解：設(shè)樓高為x層，總費用為y元，
則征地面積為

2.5A

x

 (m2)，征地費用為

5970A

x

元，
樓層建筑費用為{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（x-2）]}×

A

x

={445x+30[1+2+3+…+（x-2）]}×

A

x

={445x+[15x²-45x+30]}×

A

x

={15x+

30

x

+400}A元，
從而總費用為：y=

5970A

x

+15xA+

30A

x

+400A（x＞0）；
整理化簡，得y=(15x+

6000

x

+400)A≥(2

15x• 6000 x

+400)A=1000A(元)，
當(dāng)且僅當(dāng)15x=

6000

x

，解得x=20（層）時，總費用y最�。�
故當(dāng)這幢宿舍的樓高層數(shù)為20層時，最小總費用為1000A元．

點評：本題考查了等差數(shù)列前n項和公式，基本不等式a+b≥2

ab

（其中a＞0，b＞0）的應(yīng)用；本題中求前n項和時要注意項數(shù)是多少，以免出錯．