Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E為棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求AD₁與DB所成角的大小；
（2）求證DB⊥平面AEA₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出AD₁與DB的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到AD₁與DB所成角的大��；
（2）分別求出向量，，的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，，得到DB⊥AE，DB⊥AA₁，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到答案．
解答：解：以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1）…（2分）
（1），，，…（4分）
…（6分）
∴AD₁與DB所成的角為60…（7分）
（2），，，…（9分）
∴，，…（11分）
∴DB⊥AE，DB⊥AA₁，
即DB⊥平面AEA₁內(nèi)的兩條相交直線，∴DB⊥平面AEA₁…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中解答的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將異面直線夾角問題，線線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．