Question

設數(shù)列{a_n}前n的項和為 S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*）．其中m為常數(shù)，m≠-3且m≠0
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的公比滿足q=f（m）且為等差數(shù)列，并求b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的關系式（3-m）S_n+2ma_n=m+3，仿寫一個關系式，兩式相減，減掉了前n項和的形式，變成數(shù)列的遞推式，得到連續(xù)兩項的比值等于常數(shù)，證出是一個等比數(shù)列．
（2）根據(jù)所給的關于數(shù)列的關系式，看清題目的發(fā)展方向是求通項的倒數(shù)是一個等差數(shù)列，需要把關系式兩邊同時除以連續(xù)兩項的積，得到結論，寫出通項．
解答：解：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n，（m≠-3）
∴，
∴{a_n}是等比數(shù)列．

點評：本題考查有遞推式求通項，這是數(shù)列中常見的一種題目，在解題時注意要求證明數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列，需要按照數(shù)列的定義來看題目的思路．