Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分別是AD₁、BD的中點．
（1）求證：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求PQ與平面BB₁D₁D所成角．

Answer 1

（1）證明：連接AC，CD₁，AC∩BD=Q

∵P、Q分別是AD₁、AC的中點
∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）解：由（1）知PQ∥CD₁，∴PQ與平面BB₁D₁D所成角等于CD₁與平面BB₁D₁D所成角
連接D₁Q，由AC⊥BD，AC⊥DD₁，得AC⊥平面BB₁D₁D，∴∠CDQ₁是CD₁與平面BB₁D₁D所成角
在直角△CDQ₁中，sin∠CDQ₁==
∴∠CDQ₁=30°
∴PQ與平面BB₁D₁D所成角等于30°．
分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)，證明PQ∥CD₁，再利用線面平行的判定可得PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）由（1）知PQ∥CD₁，則PQ與平面BB₁D₁D所成角等于CD₁與平面BB₁D₁D所成角，連接D₁Q，可得∠CDQ₁是CD₁與平面BB₁D₁D所成角，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，作出線面角，屬于中檔題．