Question

（2012•臨沂二模）如圖，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的短軸長．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)C₂與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C₂相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C₁相交于點(diǎn)D、E．
（�。┳C明：MD⊥ME．
（ⅱ）記△MAB、△MDE的面積分別為S₁、S₂，若

S1

S2

=λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的短軸長，建立方程；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線l的方程為y=kx與y=x²-1聯(lián)立得x²-kx-1=0，利用韋達(dá)定理表示出k_MA×k_MB，即可證得結(jié)論；
（ⅱ）設(shè)直線MA、MB的方程與y=x²-1聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S₁，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S₂，從而可得λ=

S1

S2

，利用基本不等式，即可確定λ的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：由題意，

c

a

=

2

2

，∴a²=2b²
令x²-b=0可得x=±

b

，∴2

b

=2b，∴b=1，∴a²=2
∴C₁、C₂的方程分別為

x2

2

+y2=1，y=x²-1；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的斜率為k，方程為y=kx與y=x²-1聯(lián)立得x²-kx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個實根
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M(jìn)（0，-1），∴k_MA×k_MB=

y1+1

x1

×

y2+1

x2

=

(kx1+1)(kx2+1)

x1x2

=

-k2+k2+1

-1

=-1
∴MA⊥MB，即MD⊥ME；
（ⅱ）解：設(shè)直線MA的斜率為k₁，直線MA的方程為y=k₁x-1與y=x²-1聯(lián)立得x²-k₁x=0
∴x=0或x=k₁，∴A（k1，k12-1）
同理可得B（-

1

k1

，

1

k12

-1）
∴S₁=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+k12

|k1|×

1+ 1 k12

|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

y=k₁x-1與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k12）x-4k₁x=0
∵x=0或x=

4k1

1+2k12

，∴D（

4k1

1+2k12

，

2k12-1

1+2k12

）
同理可得E（

-4k1

k12+2

，

2-k12

k12+2

）
∴S2=

1

2

|MD||ME|=

8|k1|(k12+1)

(1+2k12)(k12+2)

∴λ=

S1

S2

=

1

16

(1+2k12)(1+

2

k12

)=

1

16

(5+2k12+

2

k12

)≥

1

16

(5+2×2)=

9

16

當(dāng)且僅當(dāng)k₁=1時取等號
∴λ的取值范圍是[

9

16

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，聯(lián)立方程，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．