Question

已知直線y=kx+m與拋物線y²=2x交于A，B兩點(diǎn)，且|O

A

+O

B

|=|O

A

-O

B

|（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若OM⊥AB于M，則點(diǎn)M的軌跡方程為（　　）

A．x²+y²=2

B．（x-1）²+y²=1

C．x²+（y-1）²=1

D．（x-1）²+y²=4

Answer 1

分析：根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，算出O

A

•O

B

=0，可得OA⊥OB．由此設(shè)拋物線上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式化簡(jiǎn)，得到直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C（2，0）．因此滿足OM⊥AB的點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，結(jié)合圓方程的求法即可算出本題答案．

解答：解：∵|O

A

+O

B

|=|O

A

-O

B

|
∴兩邊平方，整理得O

A

•O

B

=0，可得OA⊥OB
設(shè)A（

1

2

t2，t），可得B（

8

t2

，-

4

t

）
∴直線AB的方程為

y-t

- 4 t -t

=

x- 1 2 t2

8 t2 - 1 2 t2

，
令y=0，得x=2，因此直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C（2，0）
∵OM⊥AB于M，
∴M的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，圓心為（1，0），半徑r=1
此圓的方程為（x-1）²+y²=1，即為所求的軌跡方程
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題在拋物線中求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，著重考查了拋物線的幾何性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．