已知圓C:
x=2cosθ-1
y=2sinθ+2
(θ為參數(shù),θ∈R).O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)P在圓C外,過P作圓C的切線l,設(shè)切點(diǎn)為M.
(1)若點(diǎn)P運(yùn)動到(1,3)處,求此時切線l的方程;
(2)求滿足條件|PM|=|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程.
分析:(1)通過把已知圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心和半徑,分存在斜率和不存在斜率的情況討論求出切線l的方程
(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),然后用P的坐標(biāo)分別表示出|PM|與|PO|,最后根據(jù)|PM|=|PO|的關(guān)系求出P的軌跡方程.
解答:解:把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4,
∴圓心為(-1,2),半徑為2
(1)①當(dāng)l的斜率不存在時:
此時l的方程為x=1,滿足條件
②當(dāng)l的斜率存在時:
設(shè)斜率為k,得l的方程為y-3=k(x-1),
即kx-y+3-k=0,
|-k-2+3-k|
1+k2
=2

解得k=-
3
4

∴l(xiāng)的方程為3x+4y-15=0.
綜上,滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y-15=0
(2)設(shè)P(x,y),
∵|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,
而|PO|2=x2+y2,
∴由|PM|=|PO|有(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2
整理得2x-4y+1=0,
即點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+1=0
點(diǎn)評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及向量的長度相等問題.其中直線方程考查有無斜率的情況.本題屬于難題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:
x=-3+2sinθ
y=2cosθ
(θ為參數(shù)),點(diǎn)F為拋物線y2=-4x
的焦點(diǎn),C為圓的圓心,則|CF|等于( 。
A、6B、4C、2D、0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:
x=2+2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù))
,直線l:
x=2+
4
5
t
y=
3
5
t
(t為參數(shù))

(Ⅰ)求圓C的普通方程.若以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,寫出圓C的極坐標(biāo)方程.
( II)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系,并說明理由;若相交,請求出弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:綿陽二模 題型:解答題

已知圓C:
x=2cosθ-1
y=2sinθ+2
(θ為參數(shù),θ∈R).O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)P在圓C外,過P作圓C的切線l,設(shè)切點(diǎn)為M.
(1)若點(diǎn)P運(yùn)動到(1,3)處,求此時切線l的方程;
(2)求滿足條件|PM|=|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:豐臺區(qū)二模 題型:單選題

已知圓C:
x=-3+2sinθ
y=2cosθ
(θ為參數(shù)),點(diǎn)F為拋物線y2=-4x
的焦點(diǎn),G為圓的圓心,則|GF|等于( 。
A.6B.4C.2D.0

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