Question

（Ⅰ）設函數，求的最小值；

（Ⅱ）設正數滿足，證明

       _.

Answer 1

（Ⅰ）解：對函數f(x)求導數：

f′(x)=(xlog₂x) ′+[(1－x)log₂(1－x)] ′

=log₂x－ log₂(1－x)+

= log₂x－ log₂(1－x).

于是f′（）=0.

當x<時，f′(x)=log₂x－log₂(1－x)<0,f(x)在區(qū)間（0,）是減函數，

當x>時，f′(x)=log₂x－log₂(1－x)>0, f(x)在區(qū)間（,1）是增函數。

所以f（x）在x=時取得最小值，f()=-1.

(Ⅱ)證法一：用數學歸納法證明。

（i）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立。

(ii)假定當n=k時命題成立，即若正數p₁,p₂,…,滿足p₁+p₂+…+=1,則

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂≥－k.

當n=k+1時，若正數p₁,p₂,…, 滿足p₁+p₂+…+=1,令

x=p₁+p₂+…+,q₁=q₂=…,=

則q₁,q₂,…,為正數，且q₁+q₂+…+=1.

由歸納假定知q₁log₂q₁+q₂log₂q₂+…+log₂≥－k.

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂=x(q₁log₂q₁+q₂log₂q₂+…+log₂+log₂x)

≥x(－k)+xlog₂x,                         ①

同理，由++…=1－x,可得

log₂+…+log₂

≥(1－x)(－k)+(1－x)log₂(1－x).             ②

綜合①、②兩式

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂

≥[x+(1－x)](－k)+xlog₂x+(1－x)log₂(1－x)

≥－(k+1).

即當n=k+1時命題也成立。

根據（i）、(ii)可知對一切正整數n命題成立。

證法二：

令函數g(x)=xlog₂x+(c－x)log₂(c－x)(常數c>0,x∈（0，c）),那么

g(x)=c[log₂+(1－)log₂(1－)+log₂c],

利用（Ⅰ）知，當=（即x=）時，函數g(x)取得最小值。

于是對任意x₁>0,x₂>0,都有

x₁log₂x₁+x₂log₂x₂≥2?log₂

               =(x₁+x₂)[log₂(x₁+x₂) －1]             ①

下面用數學歸納法證明結論.

(i)         當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立。

(ii)        設當n=k時命題成立，即若正數p₁,p₂,…滿足p₁+p₂+…+=1,有

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂≥－k.

當n=k+1時，p₁,p₂,…滿足p₁+p₂+…=1.

令H=p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂+log₂,由①得到

H≥(p₁+p₂)[log₂(p₁+p₂) －1]+…+(+)[log₂(+)－1],

因為（p₁+p₂）+…+(+)=1,

由歸納法假設

（p₁+p₂）log₂(p₁+p₂)+…+(+)log₂(+)≥－k,得到

H≥－k－(p₁+p₂+…++)=－(k+1).

即當n=k+1時命題也成立。

所以對一切正整數n命題成立。