平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1）、B（-1，3），若點(diǎn)C滿(mǎn)足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為
x+2y-5=0
x+2y-5=0
．
分析：通過(guò)點(diǎn)C滿(mǎn)足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，知點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，利用兩點(diǎn)式方程，求出直線(xiàn)AB的方程即求出點(diǎn)C的軌跡方程．
解答：解：C點(diǎn)滿(mǎn)足
OC
=α
OA
+β
OB
且α+β=1，由共線(xiàn)向量定理可知，
A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．
∴C點(diǎn)的軌跡是直線(xiàn)AB
又A（3，1）、B（-1，3），
∴直線(xiàn)AB的方程為：
y-1
3-1
=
x-3
-1-3
整理得x+2y-5=0
故C點(diǎn)的軌跡方程為x+2y-5=0
故答案為x+2y-5=0．
點(diǎn)評(píng)：考查平面向量中三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件及知兩點(diǎn)求直線(xiàn)的方程，是向量與解析幾何綜合運(yùn)用的一道比較基本的題，難度較小，知識(shí)性較強(qiáng)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1）、B（-1，3），若點(diǎn)C滿(mǎn)足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線(xiàn)的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點(diǎn)為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿(mǎn)足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)A（1，0）、B（0，-1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線(xiàn)C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)C的離心率等于
3
，求雙曲線(xiàn)C的方程．

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