已知正數(shù)a，b，c滿足：ab+bc+ca=1．
（1）求證：（a+b+c）2≥3；（2）求a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值．
分析：（1）將（a+b+c）2展開后，利用不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca代入即可證得結(jié)論；
（2）利用均值不等式可得a
bc
≤a×
b+c
2
=
ab+ac
2
，同理得b
ac
≤b×
a+c
2
=
ab+bc
2
，c
ab
≤c×
a+b
2
=
ac+bc
2
，將三式相加即可得到a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值．
解答：解：（1）∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ca）=3
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號，故原不等式成立；
（2）∵a
bc
≤a×
b+c
2
=
ab+ac
2

b
ac
≤b×
a+c
2
=
ab+bc
2

c
ab
≤c×
a+b
2
=
ac+bc
2

∴a
bc
+b
ac
+c
ab
≤ab+bc+ca=1
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號，
∴a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值為1．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，解題時注意等號成立的條件，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
α
=(
3
sinωx，cosωx），
β
=(cosωx，cosωx)，記函數(shù)f（x）=
α
•
β
，已知f（x）的周期為π．
（1）求正數(shù)ω之值；
（2）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin2B=sinA•sinC，試求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南省月考題 題型：解答題

已知向量sinωx，cosωx），，記函數(shù)f（x）=，已知f（x）的周期為π．
（1）求正數(shù)ω之值；
（2）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin2B=sinAsinC，試求f（x）的值域．

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已知向量sinωx，cosωx），，記函數(shù)f（x）=，已知f（x）的周期為π．
（1）求正數(shù)ω之值；
（2）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin2B=sinA•sinC，試求f（x）的值域．

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已知向量sinωx，cosωx），，記函數(shù)f（x）=，已知f（x）的周期為π．
（1）求正數(shù)ω之值；
（2）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin2B=sinA•sinC，試求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量, ,記函數(shù)已知的周期為π.

（1）求正數(shù)之值;

（2）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin,試求f(x)的值域.

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