Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足8S_n=a_n²+4a_n+3，且a₂是a₁和a₇的等比中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n

2Sn

n

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞60n+800成立的最小正整數n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用遞推關系式求出數列是等差數列，進一步確定通項公式．
（Ⅱ）直接轉化出bn=

2Sn

n

=4n-2，求出前n項和，最后求出最小值n．

解答： 解：（Ⅰ）正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足8S_n=a_n²+4a_n+3，①
所以：8Sn-1=an-12+4an-1+3②
所以：①-②得
（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0
由于數列是正項數列，所以：a_n-a_n-1=4
所以{a_n）是以a₁為首項4為公差的等差數列，
由于8a1=a12+4a1+3
解得：a₁=3或1
a₂是a₁和a₇的等比中項
所以：a₁=3舍去
故：a_n=4n-3
（Ⅱ）由上步結論：a_n=4n-3
bn=

2Sn

n

=4n-2
T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n²
由于2n²＞60n+800
解不等式得：n＞40或n＜-10
所以n的最小值為：41

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式求數列的通項公式，等差數列的前n項和公式的應用，最小值問題的應用．