已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=-1,動點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離.
(Ⅰ)試判斷點(diǎn)P的軌跡C的形狀,并寫出其方程.
(Ⅱ)是否存在過N(4,2)的直線m,使得直線m被截得的弦AB恰好被點(diǎn)N所平分?
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離,利用拋物線的定義,可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,從而可求拋物線方程為y2=4x;
(Ⅱ)解法一:假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,直線m的斜率存在,設(shè)直線m的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y,利用,可得結(jié)論;解法二:假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,設(shè)直線m的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x,利用y1+y2=4a=4,可得結(jié)論;
解法三:假假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,利用點(diǎn)差法求直線的斜率,從而可得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離,
所以點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,…(2分)
所以方程為y2=4x.…(5分)
(Ⅱ)解法一:假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2),
依題意,得.…(6分)
①當(dāng)直線m的斜率不存在時,不合題意.…(7分)
②當(dāng)直線m的斜率存在時,設(shè)直線m的方程為y-2=k(x-4),…(8分)
聯(lián)立方程組,消去y,得k2x2-(8k2-4k+4)x+(2-4k)2=0,(*)   …(9分)
,解得k=1.…(10分)
此時,方程(*)為x2-8x+4=0,其判別式大于零,…(11分)
∴存在滿足題設(shè)的直線m,且直線m的方程為:y-2=x-4,即x-y-2=0.…(13分)
解法二:假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2),
依題意,得.…(6分)
易判斷直線m不可能垂直y軸,…(7分)
∴設(shè)直線m的方程為x-4=a(y-2),…(8分)
聯(lián)立方程組,消去x,得y2-4ay+8a-16=0,…(9分)
∵△=16(a-1)2+48>0,∴直線與軌跡C必相交.…(10分)
又y1+y2=4a=4,∴a=1.…(11分)
∴存在滿足題設(shè)的直線m,且直線m的方程為:y-2=x-4即x-y-2=0.…(13分)
解法三:假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1,y1),B(x2,y2),
依題意,得.…(6分)
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在軌跡C上,
∴有,將(1)-(2),得.…(8分)
當(dāng)x1=x2時,弦AB的中點(diǎn)不是N,不合題意,…(9分)
,即直線AB的斜率k=1,…(10分)
注意到點(diǎn)N在曲線C的張口內(nèi)(或:經(jīng)檢驗(yàn),直線m與軌跡C相交)…(11分)
∴存在滿足題設(shè)的直線m,且直線m的方程為:y-2=x-4即x-y-2=0.…(13分)
點(diǎn)評:本小題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)已知點(diǎn)A(m,2)在曲線C上,過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2滿足k1•k2=2,試推斷:動直線DE是否過定點(diǎn)?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)F(1,0),直線L:x=-1,P為平面上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線L的垂線,垂足為Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)是否存在正數(shù)m,對于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點(diǎn),過P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,若
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)M(-1,0)作直線m交軌跡C于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)記直線FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值;
(Ⅱ)若線段AB上點(diǎn)R滿足
|MA|
|MB|
=
|RA|
|RB|
,求證:RF⊥MF.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=-1,點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且
QP
FQ
=
PF
FQ
,則動點(diǎn)P的軌跡C的方程是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)F(1,0),動點(diǎn)P到直線x=-2的距離比到F的距離大1.
(1)求動點(diǎn)P所在的曲線C的方程;
(2)A,B為曲線C上兩動點(diǎn),若|AF|+|BF|=4,求證:AB垂直平分線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

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