Question

16．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ+8ρcosθ=ρ²+8．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）曲線C₂的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），若曲線C₁與曲線C₂交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=8，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由化簡(jiǎn)ρ²cos2θ+8ρcosθ=ρ²+8得ρ²（2cos²θ-1）+8ρcosθ=ρ²+8⇒⇒曲線C₁的直角坐標(biāo)方程：y²=4（x-1）．
（Ⅱ）把C₂的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入曲線C₁的方程，y²=4（x-1）．得t²sin²α-4tcosα-4=0．
|AB|=|t₁-t₂|=8⇒（t₁+t₂）²-4t₁t₂=64，⇒sin²α、tanα

解答 解：（Ⅰ）由ρ²cos2θ+8ρcosθ=ρ²+8得ρ²（2cos²θ-1）+8ρcosθ=ρ²+8⇒2x²+8x=2x²+2y²+8
⇒曲線C₁的直角坐標(biāo)方程：y²=4（x-1）．
（Ⅱ）把C₂的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入曲線C₁的方程，y²=4（x-1）．得t²sin²α-4tcosα-4=0．
t₁+t₂=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{4}{si{n}^{2}α}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=8⇒（t₁+t₂）²-4t₁t₂=64，⇒sin²α=$\frac{1}{2}$，tanα=±1∴直線AB的斜率為±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線參數(shù)方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．