Question

已知關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2π]有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求這兩個(gè)實(shí)根的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sin（x+） x∈[0，2π]與函數(shù)y=-有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得a的范圍；（2）利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算這兩個(gè)實(shí)根的和
解答：解：（1）關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2π]有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，即sin（x+）=-在區(qū)間[0，2π]有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，
即函數(shù)y=sin（x+） x∈[0，2π]與函數(shù)y=-有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
函數(shù)y=sin（x+） x∈[0，2π]的圖象如圖：數(shù)形結(jié)合可得：
＜-＜1或-1＜-＜
解得-2＜a＜-或-＜a＜2即所求
（2）由圖象可知兩交點(diǎn)關(guān)于x=或x=對(duì)稱
∴這兩個(gè)實(shí)根的和為2×=或2×=
∴這兩個(gè)實(shí)根的和為或
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的畫(huà)法，數(shù)形結(jié)合解決交點(diǎn)問(wèn)題的思想方法