Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c∈[0，1]，則a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：構(gòu)造成一次函數(shù)f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a），后計(jì)算端點(diǎn)f（0）和f（1），計(jì)算f（0）與f（1）即可知，所有的端點(diǎn)值均不大于1．從而得出a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值．

解答：解：用構(gòu)造函數(shù)法，
選取a為變量，令 f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）是關(guān)于a的一次函數(shù)，
令a=1，得f（1）=1-b+b-bc=1-bc≤1；
令a=0 得f（0）=b-bc+c=b+c-bc-1+1=-（1-b）（1-c）+1≤1
由于一次函數(shù)最大值在端點(diǎn)0或1處取得，而f（0），f（1）均≤1，
所以 在[0，1]上，f（a）≤1，即a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）≤1．
則a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值為1．取得最大值的條件是a，b，c中一個(gè)為0，一個(gè)為1，
另一個(gè)可以取[0，1]內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了不等式的性質(zhì)與應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造一次函數(shù)f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a），利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題，屬于中檔題．