Question

某地區(qū)對(duì)12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查．瞬時(shí)記憶能力包括聽(tīng)覺(jué)記憶能力與視覺(jué)記憶能力．某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等，且視覺(jué)記憶能力偏高的學(xué)生為3人．

聽(tīng)覺(jué) 視覺(jué)		視覺(jué)記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽(tīng)覺(jué) 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3	b
	偏高	2	a	0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的概率為

2

5

．
（1）試確定a、b的值；
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率；
（3）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有（10+a）人．記“視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上”為事件A，事件A的概率即為

2

5

，由此建立方程即可求出a，b．
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率，方法一：可分為三類(lèi)求其概率，分別為有一，二、三位能力超常的人；求出三類(lèi)中所胡可能的情況；方法二：轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率，易求．
（3）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為ξ，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可．

解答：解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有（10+a）人．記“視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上”為事件A，
則P(A)=

10+a

40

=

2

5

，解得a=6．
所以b=40-（32+a）=40-38=2．
答：a的值為6，b的值為2．
（2）由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生共有8人．
方法1：記“至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，
則“沒(méi)有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件

.

B

，
所以P(B)=1-P(

.

B

)=1-

C 3 32

C 3 40

=1-

124

247

=

123

247

．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率為

123

247

．
方法2：記“至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，
所以P(B)=

C 1 8 C 2 32 + C 2 8 C 1 32 + C 3 8

C 3 40

=

123

247

．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率為

123

247

．
（3）由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為C₄₀³，其中具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為C₂₄^kC₁₆^3-k，
所以從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的概率為P(ξ=k)=

C k 24 C 3-k 16

C 3 40

，（k=0，1，2，3）（8分）ξ的可能取值為0，1，2，3，
因?yàn)?span id="c00kcym" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">P(ξ=0)=

C 0 24 C 3 16

C 3 40

=

14

247

，P(ξ=1)=

C 1 24 C 2 16

C 3 40

=

72

247

，P(ξ=2)=

C 2 24 C 1 16

C 3 40

=

552

1235

，P(ξ=3)=

C 3 24 C 0 16

C 3 40

=

253

1235

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	14 247	72 247	552 1235	253 1235

所以Eξ=0×

14

247

+1×

72

247

+2×

552

1235

+3×

253

1235

=

2223

1235

=

9

5

．
答：隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為

9

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，求解問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解題意以及熟練掌握求概率的方法，本題二中提供了兩種方法求概率，對(duì)比發(fā)現(xiàn)求對(duì)立事件的概率較易．求概率時(shí)靈活選擇求概率的角度可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題運(yùn)算量較大，易馬虎導(dǎo)致錯(cuò)誤，以至于解題失敗，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真，算好每一步．避免一步錯(cuò)步步錯(cuò)．