Question

已知數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)分別為1，0，1，0，則下列各式可作為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的個(gè)數(shù)有

①a_n＝[1＋(－1)ⁿ+1]

②a_n＝sin²

③a_n＝[1＋(－1)ⁿ+1]＋(n－1)(n－2)

④

⑤

[　　]

A．

1個(gè)

B．

2個(gè)

C．

3個(gè)

D．

4個(gè)

Answer 1

答案：C
解析：

對于③，將n＝3代入，則an＝3≠1，易知③不是通項(xiàng)公式，通過觀察、猜想、辨認(rèn)的辦法，根據(jù)三角半角公式可知②和④實(shí)質(zhì)是一樣的．?dāng)?shù)列1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式，可猜想為，這正是①的形式；另外聯(lián)想到單位圓與x、y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，0，－1，0，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以猜想通項(xiàng)公式為sin(n∈N*)，這樣1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式可猜想為an＝sin2(n∈N*)，所以②④均可作為{an}的通項(xiàng)公式；對于⑤，因?yàn)?I>n的取值不符合要求，所以它不是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 　　綜上，可知可以作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的有三個(gè)，分別是①②④．

提示：

根據(jù)數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)，求其通項(xiàng)公式，一般形式不唯一，我們常常取簡便的一個(gè)．求通項(xiàng)公式，一般都是通過觀察數(shù)列中諸項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)行歸納、類比，然后作出猜想，并加以必要的證明，這是探究真理的一般思維過程．