已知A，B，C是平面內(nèi)互異的三點，O為平面上任意一點，
OC
=x
OA
+y
OB
，求證：
（1）若A，B，C三點共線，則x+y=1；
（2）若x+y=1，則A，B，C三點共線．
分析：（1）將三點共線轉(zhuǎn)化為以這三點確定的兩個向量共線；利用向量共線的充要條件得到等式；利用向量的運算法則將用O為起點的向量表示；利用平面向量的基本定理得證．
（2）通過代入消元將已知等式中的y消去，利用向量的運算法則化簡等式；利用向量共線的充要條件得證．
解答：證明：（1）∵A，B，C三點共線
∴
AB
∥
AC

∴存在λ有
AC
=λ
A
B
即
OC
-
OA
=λ(
OB
-
OA
)
∴
OC
=(1-λ)
OA
+λ
OB

∵
OC
=x
OA
+y
OB

∴
x=1-λ
y=λ

∴x+y=1
（2）∵
OC
=x
OA
+y
OB
，x+y=1
∴
OC
=x
OA
+(1-x)
OB
，
OC
-
OB
=x(
OA
-
OB
)
即
BC
=x
BA

∴
BA
∥
BC

故A，B，C 共線．
點評：本題考查向量的運算法則、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點共線．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點，P為平面內(nèi)的動點，且
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)  (λ＞0)，則P的軌跡過△ABC的（　�。�
A、重心B、垂心C、內(nèi)心D、外心

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足
OP
=
1
3
(
1
2
OA
+
1
2
OB
+2
OC
)，則點P一定為三角形ABC的（　　）
A、AB邊中線的中點
B、AB邊中線的三等分點（非重心）
C、重心
D、AB邊的中點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線上三點，O為△ABC外心，動點P滿足：
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]（λ∈R且λ≠0），則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點，o為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

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