【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點(diǎn)為A(﹣4,0),過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l交橢圓C于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P為AD的中點(diǎn),是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由;
(3)若過(guò)O點(diǎn)作直線(xiàn)l的平行線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)M,求 的最小值.

【答案】
(1)解:∵橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點(diǎn)為A(﹣4,0),

∴a=4,又 ,∴c=2.

又∵b2=a2﹣c2=12,

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為


(2)解:直線(xiàn)l的方程為y=k(x+4),

消元得,

化簡(jiǎn)得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,

∴x1=﹣4,

當(dāng) 時(shí), ,

∵點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),∴P的坐標(biāo)為

直線(xiàn)l的方程為y=k(x+4),令x=0,得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4k),

假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ,

則kOPkEQ=﹣1,即 恒成立,

∴(4m+12)k﹣3n=0恒成立,∴ ,即 ,

∴定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣3,0).


(3)解:∵OM∥l,∴OM的方程可設(shè)為y=kx,

,得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,

由OM∥l,得

=

= ,

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào),

∴當(dāng) 時(shí), 的最小值為


【解析】(1)由橢圓的離心率和左頂點(diǎn),求出a,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+4),與橢圓聯(lián)立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,由此利用韋達(dá)定理、直線(xiàn)垂直,結(jié)合題意能求出結(jié)果.(3)OM的方程可設(shè)為y=kx,與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,由OM∥l,能求出結(jié)果.

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【題目】如圖1,∠ACB=45°,BC=3,過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足D在線(xiàn)段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖2所示),

(1)當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐A﹣BCD的體積最大;
(2)當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn),試在棱CD上確定一點(diǎn)N,使得EN⊥BM,并求EN與平面BMN所成角的大。

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(1)證明PC⊥AD;
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值.

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【題目】設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),|PF1|=λ|PF2|,∠F1PF2=,則橢圓離心率的取值范圍為(  )

A. B. C. D.

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(2)若b=5,求c.

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【題目】兩臺(tái)車(chē)床加工同一種機(jī)械零件如下表:

分類(lèi)

合格品

次品

總計(jì)

第一臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)

35

5

40

第二臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)

50

10

60

總計(jì)

85

15

100

從這100個(gè)零件中任取一個(gè)零件,求:

(1)取得合格品的概率;

(2)取得零件是第一臺(tái)車(chē)床加工的合格品的概率.

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【題目】已知不等式ax2﹣bx﹣1>0的解集是 ,則不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是( )
A.{x|2<x<3}
B.{x|x≤2或x≥3}
C.
D.

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(1)求證:直線(xiàn)MN⊥平面B1BD;
(2)已知AA1=AB,AA1⊥AB,取線(xiàn)段C1D1的中點(diǎn)Q,求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值.

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(1)求橢圓C的方程;
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