Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，，側(cè)棱AA₁=1，側(cè)面AA₁B₁B的兩條對角線交點(diǎn)為D，B₁C₁的中點(diǎn)為M．
（1）求證：CD⊥平面BDM；
（2）求二面角A-BD-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量計(jì)算 即得證，
（2）求出面B₁BD與面CBD的法向量，利用向量的數(shù)量積求解可得答案．
解答：證明：如圖以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系．
（1）B（ ，0，0），B₁（ ，1，0），A₁（0，1，1），
D（ ，，），
M（ ，1，0），=（ ，，），=（ ，-1，-1），=（0，，-），，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因?yàn)锳₁B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，
所以CD⊥平面BDM．
（2）設(shè)BD中點(diǎn)為G，連接B₁G，
則G ，=（-，，），=，
∴，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴與 的夾角θ等于所求二面角的平面角，
cos ．
又由于二面角A-BD-C的平面角與面B₁BD與面CBD所成二面角互補(bǔ)
所以所求二面角的大小為arccos ．
點(diǎn)評：本題以直三棱柱為載體，考查直線與平面的垂直判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．