Question

一射擊運動員進行飛碟射擊訓練，每一次射擊命中飛碟的概率p與運動員離飛碟的距離s（米）成反比，每一個飛碟飛出后離運動員的距離s（米）與飛行時間t（秒）滿足s=15（t+1）（0≤t≤4），每個飛碟允許該運動員射擊兩次（若第一次射擊命中，則不再進行第二次射擊）．該運動員在每一個飛碟飛出0.5秒時進行第一次射擊，命中的概率為

4

5

，當?shù)谝淮紊鋼魶]有命中飛碟，則在第一次射擊后0.5秒進行第二次射擊，子彈的飛行時間忽略不計．
（1）在第一個飛碟的射擊訓練時，若該運動員第一次射擊沒有命中，求他第二次射擊命中飛碟的概率；
（2）求第一個飛碟被該運動員命中的概率；
（3）若該運動員進行三個飛碟的射擊訓練（每個飛碟是否被命中互不影響），求他至少命中兩個飛碟的概率．

Answer 1

分析：（1）每一次射擊命中飛碟的概率p與運動員離飛碟的距離s（米）成反比，列出關系式，代入s=15（t+1），根據(jù)每一個飛碟飛出0.5秒時進行第一次射擊，命中的概率為

4

5

，求出系數(shù)，得到結果．
（2）第一個飛碟被該運動員命中包括該運動員第一次射擊命中飛碟，或是第一次沒有命中飛碟且第二次命中飛碟，這兩種情況是互斥的，根據(jù)相互獨立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到結果．
（3）該運動員進行三個飛碟的射擊訓練時命中飛碟的個數(shù)為ξ，ξ符合獨立重復試驗，運動員至少命中兩個飛碟包括命中兩個飛碟和命中三個飛碟，這兩種情況是互斥的，寫出概率．

解答：解：（1）每一次射擊命中飛碟的概率p與運動員離飛碟的距離s（米）成反比，
依題意設p=

k

s

(k為常數(shù)），由于s=15（t+1）（0≤t≤4），
∴p=

k

15(t+1)

(0≤t≤4)．
當t=0.5時，p1=

4

5

，則

4

5

=

k

15×(0.5+1)

，解得k=18．
∴p=

18

15(t+1)

=

6

5(t+1)

(0≤t≤4)．
當t=1時，p2=

6

5×2

=

3

5

．
∴該運動員第二次射擊命中飛碟的概率為

3

5

．

（2）設“該運動員第一次射擊命中飛碟”為事件A
第二次命中飛碟為事件B，則“第一個飛碟被該運動員命中”為事件：A+

.

A

B．
∵P(A)=

4

5

，P(B)=

3

5

，
∴P(A+

.

A

B)=P(A)+P(

.

A

)P(B)=

4

5

+(1-

4

5

)×

3

5

=

23

25

．
∴第一個飛碟被該運動員命中的概率為

23

25

．
（3）設該運動員進行三個飛碟的射擊訓練時命中飛碟的個數(shù)為ξ，
由題意知ξ符合獨立重復試驗，
∴至少命中兩個飛碟的概率為P=P（ξ=2）+P（ξ=3）
=C₃²p²（1-p）+C₃³p³=3×(

23

25

)2×

2

25

+(

23

25

)3=

15341

15625

．

點評：本題考查獨立重復試驗，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個概率的綜合題目．